■ 2016학년도 사교육과열지구 중학교 2, 3학년 수학 1학기 기말고사 난이도 및 선행 유발 문항 예시 첨부자료

□ 극상 수준 문항 예시(교육과정 성취기준에 없는 문항)

문항	평가
12. 어느 여행사에서는 단체로 여행을 신청할 경우 비용을 할인해 주는데, 15명 이상 30명 미만이면 10%, 30명 이상이면 20%를 할인해 준다. 회원이 30명이 안 되는 어떤 모임에서 20%의 할인을 받기 위해 30명으로 단체 신청을 하였다. 그런데 여행에 3명이 올 수 없게 되어, 총액의 10%에 해당하는 해약수수료를 지불하고 갈 수 있는 회원의 수대로 15명 이상 30명 미만의 단체 신청으로 변경하였더니 더 손해가 되었다고 한다. 이 모임의 회원은 최소 몇 명인가? (2점)	문제를 이해하고 식을 세우는 과정이 복잡하여 시간이 오래 걸리고 계산과정도 복잡함. 미지수를 정하는 과정에서 인원을 미지수로 하고, 여행비는 의미없는 값이라는 것도 풀이과정에서 생각할 수 있어야 하고 비율에 대해서도 잘 다룰 수 있어야 해결할 수 있는 문제임.
서울 A중 2학년 12번
13. 세 직선 [eqn: x-y=3`,```x+3y=3`,```x=0]으로 둘러싸인 삼각형의넓이를 이등분하는 직선 중 원점을 지나는 직선의 기울기를 구하면?[5점]	세 직선의 그래프를 그리고 문제의 조건에 맞는 직선을 찾아내는 과정이 복잡함.
서울 B중 2학년 13번
	두 집단의 분산을 구하는 과정을 거꾸로 풀어, 분산에 가중치를 주어 편차의 제곱의 합을 구하고 또, 전체 학생의 분산을 구하는 과정을 반복해야 하는 복잡한 문제임.
서울 C중 3학년 15번
	부등식의 해가 없을 조건을 구하는 것은 성취기준에 없으며, 아주 높은 사고력을 요함.
서울 D중 2학년 4번
	두 개의 이차함수 그래프 성질을 동시에 파악해야 하는 문제이므로 성취기준에 없으며, 고등학교 평행이동 개념을 이용해야 함.
경기도 A중 3학년 13번
	연립부등식이 완전하게 주어져 해를 구하거나 해가 주어져 연립방정식을 완성하는 문제가 아님. 정수해의 개수가 주어진 문제이므로 중2 수준에서 복합적인 사고력을 요하는 문제이고 성취수준에 없음.
경기도 B중 2학년 7번
16. 두 점 [eqn: (0,~2)~~`(5,~0)]을 지나는 직선 [eqn: l]이 있다. 또 직선 [eqn: m]은 [eqn: x]축과 수직이고 [eqn: x>5]인 범위에 있다. [eqn: x]축과 두 직선 [eqn: l,`m]으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 [eqn: 15]이고 두 직선 [eqn: l]과 [eqn: m]의 교점을 [eqn: RMP]라고 할 때, 점 [eqn: RMP]의 좌표는? (4점)	좌표를 설정하고 이를 이용하여 계산하는 과정이 복잡하고 오래 걸림. 사교육을 통하여 비슷한 문제를 풀어본 경우가 아니라면 해결하기 어려운 문제로 판단됨.
부산 A중 3학년 16번
5. 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 다음 정오각형 [eqn: rm ABCDE]에 대하 여 [eqn: rm bar{AC} it =x]이고 점 [eqn: rm F]는 [eqn: rm bar{AD}]와 [eqn: rm bar{CE}]의 교점이라 할 때, 옳지 않은 것은? (5점) ① [eqn: rm ANGLE CAD= ANGLE DCE] ② [eqn: rm ANGLE ACD=72 DEG] ③ [eqn: rm bar{AC} : bar{CD} = bar{CD} : bar{DF}] ④ [eqn: rm bar{AF} = bar{CD}] ⑤ [eqn: x ^{2} -x+1=0]	오각형에서의 닮음을 이용하는 것은 성취기준에 없으며, 사교육을 통해 관련 문항을 접해본 학생에게 유리함.
부산 B중 3학년 5번
	모든 항의 계수가 미정인 일차부등식은 교육과정 성취기준에 없음. 사교육의 도움을 받아야 풀 수 있는 문제로 계산과정이 복잡해 풀이법을 여러 번 반복해 훈련해야 풀 수 있음.
대구 A중 2학년 3번
	문제에 주어진 a,b,c,d의 부호를 판별하기 위해 부등식의 성질과 식의 대입의 복합적인 개념이 필요하며 다시 부등식의 성질을 이용하여 부등식의 해를 구하는 과정을 반복해야 하므로 시간이 오래 걸림. 사교육에서 비슷한 유형의 문제를 풀어 본 경우가 아니라면 중2 수준에서 해결하기 어려워 보임.
대구 B중 2학년 25번
	일의 능률이라는 것을 수식으로 표현하는 것이 중2 수준에서 매우 어려운 것으로 판단됨.
인천 A중 2학년 13번
	이차함수의 최댓값이 다시 이차함수가 되는 것은 중3학생이 해결하기에 어려움.
인천 B중 3학년 서술형 7번
	문제에서 제시한 기호(자연수 [eqn: x]의 약수의 개수를 [eqn: [x]]라 할 때)가 교육과정에서 사용하지 않는 것임. 이 문항은 복합적인 개념을 사용하는 고난이도 문항으로 볼 수 있으며 사교육의 경험이 있는 학생들에게 유리한 문항임.
울산 B중 2학년 21번

□ 선행학습 유발 문항 예시

문항

평가

14. 두 직선 [eqn: ax+y=-1,~2x+6y=15]에 대하여 [eqn: 2<x<4]인 범위에서 [eqn: ax+y=-1]의 그래프가 [eqn: 2x+6y=15]의 그래프보다 더 위에 있다. 상수 [eqn: a]값의 범위를 구하면?[5점]

고1의 함수 개념과 직선의 방정식과 부등식의 영역 함수를 학습한 경우 유리함.

서울 B중 2학년 14번

아래 첨자([eqn: x _{1`} ,~x _{2} ,~...])를 사용하는 기호는 선행한 학생들에게 익숙한 표현임. 고등학교의 확률과 통계 과목에 나오는 분산이 ([eqn: X ^{2}]의 평균)-[eqn: (평균) ^{2}]임을 아는 학생은 보다 빠르게 해결할 수 있음.

서울 C중 3학년 19번

고1 과정인 두 직선의 위치관계 등의 선행학습을 한 학생에게 유리함.

서울 D중 2학년 16번

주어진 이차함수의 식을 구하는 과정에서 미지수가 3개인 일차방정식을 풀어야 하므로 선행학습 요소가 포함되어 있다고 할 수 있음.

경기 B중 3학년 11번

24. 점 [eqn: (-2,``-2)]를 지나는 일차함수 [eqn: y=ax+b]의 그래프가 다음 일차방정식의 그래프들로 둘러싸인 도형과 만날 때, 상수 [eqn: a]의 값의 범위는? (5점)

[eqn: 2x-4=0]        [eqn: 8-4y=0]

[eqn: -25+5x=0]     [eqn: 8y-32=0]

고1 과정의 직선의 방정식을 선행학습 한 학생에게 유리한 문제임.

부산 A중 2학년 24번

5. 이차함수 [eqn: y=f(x)] 에서 최고차항의 계수가 [eqn: a] 이고    [eqn: f(-1)=f(5)=1] 을 만족하며 꼭짓점이 제4사분면    에 존재한다고 하자.

좌표평면 위의 두 점

[eqn: A(0,-9),````B(3,-9)] 가 있을 때, [eqn: {bar{AB}}] 가 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나도록    하는 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오. (5점)

고1 수준의 이차함수 개념을 선행학습한 학생에게 유리한 문제임.

부산 B중 3학년 서술형 5번

이차함수와 이차방정식의 근 사이의 관계를 이해하여야 쉽게 해결할 수 있는 문제로 고1 내용을 선행한 학생에게 유리한 문항임.

대구 A중 3학년 20번

고1 과정인 근과 계수의 관계를 이용할 줄 아는 학생에게 유리한 문항임.

인천 A중 3학년 3번

이차함수와 일차함수의 관계는 고1 과정에서 배우는 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계와 이차부등식의 풀이를 배워야 이해할 수 있는 내용임.

광주 B중 2학년 25번

중학교 3학년 2학기 과정인 피타고라스의 정리와 고1 과정인 점과 직선 사이의 거리 등의 선행학습을 한 학생에게 유리한 문항임.

대전 A중 3학년 18번

고등학교 1학년 과정인 직선의 방정식 또는 그 기울기 표현을 선행학습한 학생에게 유리한 문항임.

울산 A중 2학년 24번

[eqn: x]축에 대한 대칭이동은 고1 과정이므로 고1 함수를 선행학습한 학생들에게 유리한 문항임.

울산 B중 3학년 12번